Гипотенуза меньше суммы катетов

28.06.2025 в 23:07

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда меньше суммы катетов. Это фундаментальное свойство вытекает из теоремы Пифагора и неравенства треугольника, являясь важным следствием евклидовой геометрии.

Математическое обоснование

• По теореме Пифагора: c² = a² + b², где c - гипотенуза, a и b - катеты
• Для любых положительных чисел выполняется: √(a² + b²) < a + b
• Это следует из того, что 2ab > 0 при a,b > 0
• Неравенство можно переписать как: c < a + b

Сравнение гипотенузы и суммы катетов

Доказательство неравенства

1. Запишем теорему Пифагора: c = √(a² + b²)
2. Возведем обе части неравенства в квадрат: a² + b² < (a + b)²
3. Раскроем правую часть: a² + b² < a² + 2ab + b²
4. Упростим: 0 < 2ab
5. Так как a,b > 0, неравенство всегда верно

Геометрическая интерпретация

• Гипотенуза - кратчайший путь между двумя точками
• Сумма катетов представляет ломаную линию
• В евклидовом пространстве прямая всегда короче ломаной
• Это свойство сохраняется для всех прямоугольных треугольников

Рассмотренное свойство имеет практическое значение при решении геометрических задач, проверке правильности построения треугольников и в различных инженерных расчетах, где требуется сравнение длин сторон прямоугольных фигур.